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改正为:“任何与n维球面同伦的n维关闭流形必然同胚于球面2019/4

时间:2019-04-03来源:未知 作者:admin点击:
庞加莱在很多看来是可以与牛顿相提并论的数学家,他的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等方面,尤其是庞加莱猜想最为人熟知。 1904年,庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想:在一个三维

  庞加莱在很多看来是可以与牛顿相提并论的数学家,他的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等方面,尤其是庞加莱猜想最为人熟知。

  1904年,庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想:在一个三维空间中,假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点,那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现其中的错误,修改为:“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”后来这个猜想被推广至三维以上空间,被称为“高维庞加莱猜想”。

  其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年,数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题,将有助于人类更好地研究三维空间,其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。

  庞加莱在天体力学方面,他研究了旋转流体的形状与稳定性。更重要的是,他为研究三体运动问题而发展出一整套最先进的数学工具(微分方程定性理论),首次发现了确定性系统内部的不确定运动(所谓的“混沌(chaos)”),对非线性物理学、非线性力学乃至于气象学、生物学都形成巨大的冲击与促进。

  当汪淼问魏成是否知道庞加莱时,魏成回答:“当时不知道,学数学的不知道庞加莱是不对,但我不敬仰大师,自己也不想成大师,所以不知道。但就算当时知道庞加莱我也会继续对三体问题的研究。全世界都认为这人证明了三体问题不可解,可我觉得可能是个误解,他只是证明了初始条件的敏感性,证明了三体系统是一个不可积分的系统,但敏感性不等于彻底的不确定,只是这种确定性包含着数量更加巨大的不同形态,现在要做的是找到一种新的算法。当时我立刻想到了一样东西:你听说过‘蒙特卡洛法’吗?哦,那是一种计算不规则图形面积的计算机程序算法,具体做法是在软件中用大量的小球随机击打那块不规则图形,被击中的地方不再重复打击,这样,达到一定的数量后,图形的所有部分就会都被击中一次,这时统计图形区域内小球的数量,就得到了图形的面积,当然,球越小结果越精确。”

  庞加莱证明的是三体运动的微分方程不可积分,也就是说没有解析解,无法表达成一个代数式甚至超越数的形式,但可以用数值解。尽管庞加莱那时候还没有计算机,但后人在有了计算机之后,利用计算机强大的计算功能,给出了海量巨大的计算,不仅得到了其他形式的特解(类似于欧拉与拉格朗日的特解)以一般情况下的数值解,画出了大量图。

  毫无疑问,是庞加莱将三体运动的研究推向了第一个最高峰。因此这一部分,我将介绍庞加莱生平、成就,以及他如何证明“三体问题在数学上不可解”,如何“从三体问题出发,在微分方程问题上创造了新的数学方法”。

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